之前老喜欢死记硬背transformer的网络架构，虽然内容并不复杂，但是发现这个transformer模块中的positional encoding在死记硬背的情况之下很容易被忽略。为了更好地理解为什么transformer一定需要有一个positional encoding，简单推了一下公式
先说结论：没有Positional Encoding的transformer架构具有置换等变性。
证明如下：
1. 对self-attn的公式推导
其中的是可训练的权重矩阵。首先计算Query和Key之间的点积，得到注意力权重矩阵：
然后计算自注意力输出：
2. 假设对输入进行置换
置换后的Query, Key, Value的公式分别为：
注意力矩阵的计算则变化为：
由于P是置换矩阵，满足=，且P=I，所以：
所以最终的输出可以这样写：
这样就可以证明，transformer架构在没有Positional Encoding计算的情况下具有置换等变性，换句话说，输入序列中元素的排列方式不会影响模型对它们的处理方式，只是输出的顺序相应地改变。
3. 添加Positional Encoding之后的影响
加入Positional Encoding之后，置换后的输入为：
由于P是固定的，加入Positional Encoding之后，输入序列的置换将导致模型的输出发生变化，模型能够区分不用的序列：
从公式上看，在没有位置编码的情况下，自注意力机制的计算只涉及输入向量的内容，不涉及任何位置信息，且对输入序列的置换是等变的。
加入位置编码后，输入向量包含了位置信息，打破了自注意力机制的置换等变性，使模型能够对序列中的元素位置敏感。
