在科学畛域，常年的工作已经面向各种物理现象生成了极其详细的数学模型。很多这些模型通过微分方程（Olver, 2014）的形式进行自然地表达，大多数时候表现为工夫偏微分方程（partial differential equation, PDE）。求解这些微分方程对于解决天气预报、天文数字模拟、分子建模、喷气式发动机设计等所有数学学科中的问题至关重要。大多数重要方程的求解难以分析，因此不得不反溯至数值近似要领。想要以最小的计算开销获得有界误差的精确解需要手动求解器（handcrafted solver），通常根据手头的方程量身定制。
设计一个「好的」PDE 求解器绝非易事。完美的求解器应该满足大量的条件。首先是用户需求，比如速度快、运用最少的计算开销、提供不确定性估计、跨 PDF 泛化以及易于运用；然后是问题的结构需求，比如空间分辨率和工夫尺度、域采样正则性、域拓扑和几何、边界条件、维数和解空间平滑度；接着是实现需求，比如在长工夫 rollout 时保持稳定性和不变形。正是由于上述大量的多样化需求，数值法（ numerical method）是一个 splitter 畛域，而不是一个 lumper 畛域，旨在为每个子问题构建手动手动求解器。
近日，阿姆斯特丹大学、高通 AI 研究院的三位研究者在论文《Message Passing Neural PDE Solvers》中提出运用端到端神经求解器来从数值上求解 PDE。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2202.03376.pdf
详细而言，这篇论文主要做出了以下贡献：
提出一个基于神经消息传递（message passing, MP）的端到端全神经 PDE 求解器，其灵活性能够满足典型 PDE 问题的所有结构需求。这一设计的灵感来源于一些经典求解器（有限差分、有限体积和 WENO 格式）可以作为消息传递的特例；
提出工夫捆绑（temporal bundling）和前推（pushforward）技术，以在训练自返回模型中鼓励零稳定性（zerostability）；
在给定类中实现跨多个 PDE 的泛化。在测试期间，新的 PDE 稀疏可以成为求解器的输入。
要领
研究者基于最近该畛域令人兴奋的工作进展来学习 PDE 求解器。这些神经 PDE 求解器的背后离不开这一快速发展且有影响力的研究畛域。用于工夫 PDE 的神经 PDE 求解器可以分为两大类，分别为自返回要领和神经算子要领，详细以下图 1a 所示。
研究者通过两部分详细描述了他们的要领，即训练框架和架构。其中训练框架解决自返回求解器中的分布位移问题，该问题会导致不稳定性；网络架构是一个消息传递神经网络。
训练框架
自返回求解器将解 u^k 映射到因果后续（causally consequent）解 u^k+1。一种直接的训练要领是单步训练。如果 p_0(u^0 ) 在训练集中是初始条件的分布，则
是迭代为 k 时的真值分布。研究者最小化以下公式（6）
下图 2 为不同的训练策略。图左为单步训练，只能预测接下来一步的解；图中为展开（unrolled）训练，可以预测接下来 N 步的解；图右为对抗性训练，可以预测接下来 N 步的解，但只能在最后一步反向传播。
架构
在网络架构选择上，研究者遵循 Battaglia et al. (2018) 和 Sanchez-Gonzalez et al. (2020) 提出的编码器 – 处理器 – 解码器（Encode-Processor-Decode）框架，并做了调整。他们并不是首个将 GNN 用作 PDE 求解器的，但自己的要领具有一些显著特征。下图 3 为本文 MP-PDE 求解器的概览：
详细而言，编码器用来计算节点嵌入。
处理器计算学得消息传递的第 M 步，中间图表示为
。详细更新以下公式（8）和（9）
最后来说解码器。在消息传递后，研究者运用了一个浅层 1D 卷积网络，并在空间位置上共享权重，以在网格点 x_i 处输出 K 接下来的工夫步预测。对于每个节点 i，处理器输出向量 f^M_i。他们将该向量视为工夫连续的信号，并随工夫推移将它馈入到 CNN。
实行
研究者在不同难度的任务上展示了 MP-PDE 求解器的有效性。其中，在 1D 方程中，研究者探究了 MP-PDE 泛化到给定族中未见过方程的能力，周期性、狄利克雷（Dirichlet）边界条件和诺伊曼（Neumann）边界条件下的边界处理能力，以及建模冲击波（shock wave）的能力。然后，他们又展示了 MP-PDE 有能力求解 2D 方程。
此外，研究者还针对前推技术和变体进行了消融实行，以验证实用性。作为基线，他们比较了几种不同的标准经典 PDE 求解器，即 FDM、伪谱要领和 WENO5 求解器。不仅如此，研究者还与 SOTA 神经算子要领——傅里叶神经算子（Fourier Neural Operator, FNO）进行了比较。
在实行中，研究者考虑了三种场景，分别以下：
E1 伯格斯（Burgers）方程，没有用于冲击建模的扩散θ_PDE = (1, 0, 0)；
E2 伯格斯方程，有可用扩散θ_PDE = (1, η, 0)，其中 0 ≤ η ≤ 0.2；
E3：θ_PDE = (α, β, γ) 的混合场景，其中 0.0 ≤ α ≤ 3.0、0.0 ≤ β ≤ 0.4 和 0.0 ≤ γ ≤ 1.0。
详细而言，他们察看 E1 方程上的求解器生存工夫，定义为「解偏离真值之前的工夫」。该求解器展开到 n_t = 1000 工夫步，其中 T = 16 s。下图 4 底部展示了一个示例，研究者察看到大约 8 秒后发散增加。该现象在下图 5a 中得到了验证，他们发现了生存率与工夫步的关系。
在第二个实行中，研究者比较了前推技术的效用。他们察看到，前推技术加上工夫捆绑可以提升自返回任务中的 FNO 效果。在下图 5b，研究者绘制了运用和未运用前推技术训练的模型的生存率。
下表 2 比较了 MP-PDE 求解器与 SOTA 数值伪谱求解器。结果可知，MP-PDE 求解器在伪谱求解器中断工作的低分辨率条件下获得了准确的结果。有趣的是，MP-PDE 求解器可以在不同的边界条件上泛化，并且如果边界条件通过θ_PDE 特征注入到方程中，泛化更加明显。
最后，研究者测试了 MP-PDE 到更多空间维度上的可扩展性，尤其是在 2D 实行中。他们运用来自开源流模拟工具包 PHIFLOW1 中的数据。详细而言，研究者察看了基于纳维 – 斯托克斯方程（Navier-Stokes equation），并将烟雾流模拟成 32 × 32 网格，在每个工夫步后添加更多烟雾。结果显示，MP-PDE 求解器能够准确地捕获给定工夫阶段内的烟雾流入，表明它可以扩展到更高维度。